隣り合う数字が同じにならないn桁の自然数の個数を求める方法

この問題は、0、1、2の数字を使って、n桁の自然数を作る場合の条件付き組み合わせ問題です。特に「数字1を2つだけ含む」そして「同じ数字が隣り合わない」条件に従った解法を解説します。

問題の整理と条件の確認

問題では、以下の条件が与えられています。

これらの条件を満たすn桁の自然数の個数を求めることが求められています。

まず、n桁の自然数の中で「数字1」を2つだけ配置しなければなりません。n桁の中で1を配置する位置は、全体の桁数nから2を引いた位置から選ぶことになります。したがって、1を配置する位置は、n個の桁の中で2つを選ぶ方法になります。

これを組み合わせの数として求めると、選び方は次の式で表されます。

組み合わせの数 = C(n, 2) = n(n-1)/2

次に、数字1を配置した残りのn-2桁に、数字0または2を配置しなければなりません。同じ数字が隣り合わないようにするためには、数字0または2を配置する位置に注意する必要があります。

この場合、数字1を置いた後、残りの桁には数字0と2を交互に配置していく形になります。数字0と2は隣り合わないため、交互に配置することで問題を解決できます。

数字1を2つ置いた後、残りのn-2桁に0と2を交互に配置する方法の数を考えます。n-2の桁に対して、数字0と2を交互に並べる方法は、2のn-2乗通りの配置が可能です。

したがって、最終的に求める数は、数字1を配置する方法と、数字0、2を交互に配置する方法の積として表されます。

最終的な答え = C(n, 2) × 2^(n-2)

この問題を解くためには、まず数字1を2つ配置する方法を組み合わせで求め、その後、残りの桁に数字0と2を交互に配置する方法を考えることが重要です。最終的には、C(n, 2) × 2^(n-2) の式を用いて答えを導くことができます。これを使えば、n桁の自然数の個数を求めることができます。