平面上の直線で囲まれた三角形の数を求める方法

平面上に、どの2本も平行でない相異なる10本の直線があるとき、3本以上の直線が同一の点で交わらない場合、相異なる3本の直線で囲まれた三角形がいくつできるのかを求める問題です。この記事では、どのようにしてこの問題を解くか、わかりやすく解説します。

直線と三角形の関係

直線が交わることで三角形ができますが、重要なのは、直線が交わる点が一意であることです。平行でない直線が交わる点は1つずつ異なるため、これらの交点を使って三角形が形成されます。ここでは、3本の直線が1つの三角形を作るために必要な条件が満たされていることを前提に話を進めます。

3本の直線を選んで交わるとき、それらが作る三角形は一意に決まります。直線の本数が増えることで、より多くの三角形が形成されます。この問題では、10本の直線の中から、どの3本の直線を選ぶかを考えることが求められます。

三角形を形成するためには、10本の直線の中から3本を選ぶ組み合わせの数を計算します。数学的には、n本の直線の中から3本を選ぶ方法は「nC3」という組み合わせの式を使って求めることができます。ここでは、n=10ですので、10C3 = 10×9×8 / (3×2×1) = 120となります。

したがって、10本の直線から3本を選んで三角形を作る方法は120通りです。すべての直線が平行でないこと、また3本以上が同一の点で交わらないことが前提となります。このように、組み合わせを使うことで、直線によって作られる三角形の数を効率的に求めることができます。

この問題では、10本の直線から3本を選んで作られる三角形の数を求めるために、組み合わせの計算を使用しました。数学的なアプローチで問題を解決することで、効率的に解答を導くことができます。最終的に、三角形の数は120となることがわかりました。