n^nの正の約数の逆数の総和Snがnより小さいことの証明

この問題では、nを2以上の正の整数とし、n^nの正の約数の逆数の総和Snについて考え、Snがnより小さいことを示す方法を解説します。自然数の約数に関する問題は数論の基礎的なテーマであり、逆数の総和を求めることで、約数の構造とその性質を深く理解することができます。

n^nの正の約数の逆数の総和とは

まず、n^nの正の約数の逆数の総和Snを定義しましょう。n^nの正の約数は、n^nのすべての約数を列挙し、それぞれの逆数を足し合わせたものです。n^nの正の約数は、nの冪に基づいて次のように表現できます。

n^nの正の約数 = 1, n, n^2, …, n^n

これらの逆数をすべて足し合わせることで、Snが得られます。すなわち、

Sn = 1 + 1/n + 1/n^2 + … + 1/n^n

Snがnより小さいことの証明

次に、この逆数の総和Snがnより小さいことを示します。逆数の総和を求める式は等比数列の和の形式になっています。この式を利用して、Snを簡単に表現できます。

Sn = (1 – 1/n^(n+1)) / (1 – 1/n)

この式を整理すると、Snは次のようになります。

Sn = (n^(n+1) – 1) / (n^(n) * (n – 1))

具体的な例で確認

例えば、n=2の場合を考えてみましょう。この場合、2^2 = 4の正の約数は1, 2, 4です。これらの逆数の総和は、次のように計算できます。

Sn = 1 + 1/2 + 1/4 = 1.75

これは、Snが2より小さいことを確認する例です。

一般的な場合

一般に、nが大きくなると、逆数の総和Snは次第に小さくなります。特に、nが大きい場合、逆数の項は急激に小さくなり、Snはnに対して小さく収束します。これは、n^(n+1) – 1 / n^n(n – 1) の式が、nが大きくなるにつれて、分子と分母の差が小さくなり、Snがnより小さくなることを示しています。

まとめ

n^nの正の約数の逆数の総和Snは、nを2以上の整数としたとき、常にnより小さいことが示されました。逆数の総和がnより小さくなる理由は、等比数列の性質と逆数の項がnが大きくなるにつれて急激に小さくなるためです。これにより、逆数の総和がnを超えることはないことが理解できます。