数列の一般項を求める方法: 階差数列の解法を解説

数列{an}の一般項を求める問題では、階差数列や差分を活用することがよくあります。特に、この問題のように、与えられた数列の差が特定の式に従っている場合、差分を使って一般項を求める方法を詳しく解説します。

問題の確認と階差数列の導入

問題では、次の2つの条件が与えられています。

まず、aₙ₊₁ – aₙ = 3n – 1という差分の形を使って解法を進めていきます。この差分を利用すると、aₙの一般項を求める手がかりとなります。

与えられた条件から、aₙ₊₁ – aₙ = 3n – 1という式が成り立ちます。この式は、aₙ₊₁からaₙを引いた差が3n – 1になることを意味しています。つまり、数列の各項とその前の項との差が、nに関して線形の式で表されることになります。

この差を利用して、数列の一般項を求めるためには、差を累積していくことが重要です。すなわち、次の式を用います。

aₙ = a₁ + Σ(3k – 1) (k = 1からn-1まで)

Σ(3k – 1)の部分を展開して計算します。まず、3k – 1をΣの中で計算すると、次の式になります。

Σ(3k – 1) = Σ3k – Σ1

これを分けて計算すると。

Σ3k = 3Σk = 3(n-1)n/2

Σ1 = n – 1

したがって、Σ(3k – 1) = 3(n-1)n/2 – (n – 1)となります。

これをaₙの式に代入して整理すると。

aₙ = 1 + 3(n-1)n/2 – (n – 1)

さらに式を展開すると。

aₙ = 1 + (3n² – 3n)/2 – (n – 1)

aₙ = (3n² – 5n + 4)/2

最初の項a₁ = 1が正しく対応していることを確認するために、n = 1のときにaₙの式が成立するかを確かめましょう。

n = 1のとき、aₙ = (3×1² – 5×1 + 4)/2 = 1となり、確かにa₁ = 1となります。このように、初項が正しく対応していることを確認できます。

数列の一般項を求めるためには、まず階差数列の差分を使って累積し、最終的に一般項を求めます。この問題では、aₙ₊₁ – aₙ = 3n – 1という差分を利用し、Σを使って一般項を求めました。解法の過程では、累積の計算が重要な役割を果たします。