平面図形の面積比の問題解説：△ABCと△BDGの面積比の求め方

この問題は、三角形の面積比に関する問題です。まず、問題文にあるように、△ABCの重心Gを求め、その後の計算において「△BDG=1/3△ABD」とする理由を理解することが大切です。この記事では、なぜそのように計算できるのかを詳しく解説します。

重心とその性質

重心Gは、三角形の各辺を2:1に分ける点です。具体的には、重心Gは、各辺の中点からその辺の長さに応じた位置にあります。重心の基本的な性質を理解することが、この問題を解く鍵です。

問題文の中で、BD:DC=1:1、AG:GD=2:1という比が出てきます。これは、点Gが重心であることに起因しています。BD:DC=1:1は、GがBCの中点であるため、辺BCを均等に分けることを意味します。そして、AG:GD=2:1は、重心が三角形の各辺を2:1の比率で分けるためです。

したがって、点Gは、三角形の辺を2:1の比率で分ける点であり、この比を使って面積比を求めることができます。

問題では、△BDGの面積が△ABDの1/3であると示されています。これは、AG:GD=2:1の比に基づいています。AGの長さがGDの2倍であるため、△BDGの面積は△ABDの1/3になるのです。

さらに、△ABDの面積は△ABCの1/2であることがわかります。なぜなら、△ABCを2つに分ける直線がAGであり、AGは三角形ABCの高さに当たるからです。したがって、△BDGの面積は△ABCの1/6になります。

上記の計算から、△ABCと△BDGの面積比は次のように求めることができます。

△ABC : △BDG = 6 : 1

この問題の解法では、重心の性質を利用して三角形の面積比を求めました。重心は三角形の各辺を2:1に分ける点であり、その性質を利用することで面積比を簡単に求めることができます。△BDGの面積が△ABDの1/3であることを理解し、最終的に△ABCと△BDGの面積比を6:1と求めることができました。