一回17円で引けるクジにおいて、当たると次の金額がもらえるとします：50％で1000円、25％で2000円、25％で7000円。このクジの引く価値がある確率が変動する場合、どの確率まで引く価値があるのかを計算してみましょう。
クジ引きの期待値とは？
まず、この問題を理解するために「期待値」という概念を知っておくことが重要です。期待値とは、ある試行を繰り返したときに得られる平均的な結果を示すものです。クジの場合、期待値は次のように計算できます。
期待値 = (当選確率1 × 当選金額1) + (当選確率2 × 当選金額2) + ...
この期待値が、クジ引きの「価値」を示します。引く価値があるかどうかは、期待値が1回あたりの引くコストを上回るかどうかで決まります。
クジ引きの期待値の計算
問題文にあるクジの条件をもとに、期待値を計算します。
期待値 = (0.5 × 1000) + (0.25 × 2000) + (0.25 × 7000)
計算すると。
期待値 = 500 + 500 + 1750 = 2750円
このクジの期待値は2750円となります。
クジ引きのコストと期待値の比較
クジを1回引くのにかかるコストは17円です。期待値が2750円であることから、このクジは非常にお得であるように思えます。しかし、コストと期待値を比較するために、確率を変動させた場合の影響を考えます。
もし、当たりやすくするために確率が「1分の1」「2分の1」「3分の1」などに変更された場合、期待値がどのように変化するかを計算してみましょう。
確率を変更した場合の期待値の計算
例えば、確率が「1分の1」に変更された場合、期待値は次のように計算されます。
期待値 = (1 × 1000) + (0 × 2000) + (0 × 7000) = 1000円
次に、「2分の1」に変更した場合。
期待値 = (0.5 × 1000) + (0.5 × 2000) + (0 × 7000) = 1500円
さらに、「3分の1」に変更した場合。
期待値 = (0.33 × 1000) + (0.33 × 2000) + (0.33 × 7000) = 2000円このように、確率が高くなると期待値も増加しますが、それでもコストの17円に対してどの程度のリターンが得られるかを考慮する必要があります。
引く価値がある確率の計算
クジを引く価値があるためには、期待値が17円を上回る必要があります。したがって、期待値が17円を超える確率の範囲を求めることが重要です。計算により、確率が「1分の1」から「2分の1」、「3分の1」と重くなっていくと、次第にクジを引く価値が増えていくことがわかります。
まとめ
クジ引きの価値を決めるためには、期待値とコストを比較することが重要です。確率が高くなるほど、期待値も増加し、引く価値があると判断できる確率が上がります。最終的に、期待値が17円を上回る場合に引く価値があると言えます。
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