数学で頻繁に出てくるリミット（極限）の問題の一つとして、lim[n→0]√(1-n^4)/nの求め方があります。この問題は少し複雑に思えるかもしれませんが、適切な手法を用いることで簡単に解くことができます。この記事では、具体的な解法をわかりやすく解説します。
問題の整理
問題は次のように与えられています。
lim[n→0]√(1-n^4)/n
この式において、nは0に近づいていきます。まず、式が0の形になっていることに注意します。
ステップ1：分母と分子の確認
まず、分子と分母がどのように振る舞うかを確認します。nが0に近づくと、分母はnになりますから、分母が0に近づきます。分子の√(1-n^4)についても、nが0に近づくと1になります。
これを踏まえて、このままリミットを求めるのは難しいので、さらに式を変形する必要があります。
ステップ2：テイラー展開を使う
√(1-n^4)の部分に注目しましょう。nが0に近づくと、1-n^4は1に非常に近いですが、nが完全に0になるわけではありません。そこで、√(1-n^4)をテイラー展開を使って近似します。
√(1-n^4) ≈ 1 – (1/2) * n^4 という近似を使うと、式は次のようになります。
lim[n→0] (1 – (1/2) * n^4) / n
ステップ3：極限の計算
この式をリミットにした場合、n^4項が0に収束します。したがって、lim[n→0] (1 – (1/2) * n^4) / n は次のように求めることができます。
lim[n→0] (1 / n) – (1/2) * n^3 = ∞ – 0 = ∞
このように、この式は無限大に収束することが分かります。
まとめ
lim[n→0]√(1-n^4)/nの求め方は、テイラー展開を使って分子を近似し、その後に極限を計算することで解くことができました。nが0に近づくと、分子と分母の動きが重要になります。最終的に、このリミットの値は無限大に収束します。
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