この問題では、与えられた条件に基づいて多項式関数f(x)が2次式であることを示し、その具体的な式を求めることが求められています。特に定数関数についての理解が必要です。以下でその解法を詳しく解説します。
問題の条件を整理する
まず、問題で与えられている条件は以下の2つです。
- (A) f(0) = 0
- (B) (x + 1)f'(x) = 2f(x) – 4
この条件を満たす関数f(x)を求めるためには、まず多項式の形を仮定して、式を展開していきます。
定数関数の場合を考える
次に、f(x)が定数関数である場合を考えます。定数関数とは、f(x) = cのようにxに依存しない関数です。
定数関数の場合、f'(x) = 0 です。このため、(B)の式に代入すると次のようになります。
(x + 1) * 0 = 2c – 4
この式を解くと、c = 2となりますが、(A)の条件でf(0) = 0が与えられているため、c = 0となり、f(x) = 0になります。したがって、定数関数の場合、f(x) = 0となります。
一般的な多項式の場合
次に、f(x)が定数関数ではなく、2次式である場合を考えます。f(x)が2次式であれば、一般的に次のように書けます。
f(x) = ax² + bx + c
この式を使って、(A)と(B)の条件を満たすように連立方程式を解いていきます。
連立方程式の解法
条件(A)から、f(0) = 0なので、a(0)² + b(0) + c = 0が得られます。これより、c = 0であることがわかります。
次に、(B)の条件を使って、f'(x)を計算します。
f'(x) = 2ax + b
(x + 1)f'(x) = 2f(x) – 4に代入して解くことで、aとbの値が決まります。
最終的な結論
このようにして、f(x) = ax² + bx + cの形で多項式を求めることができます。解法の途中で定数関数の場合と多項式の場合を区別して考え、必要な条件を適用することがポイントです。
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