放物線の定数a, bを求める方法：頂点と通過点を使って解く

数1の問題で出題される放物線の方程式において、特定の点を通る条件と頂点がある直線上にあるという条件を利用して、定数aとbの値を求める方法を解説します。

問題の理解

与えられた放物線の方程式は、y = x^2 + 2ax + bです。条件として、次の2つの情報が与えられています。

これらの条件を使って、定数aとbを求めることが目標です。

まず、放物線が点(1, 1)を通るという条件を使います。x = 1, y = 1を方程式に代入すると、次の式が得られます。

1 = (1)^2 + 2a(1) + b

1 = 1 + 2a + b

これを整理すると、次の式が得られます。

2a + b = 0

これが1つ目の方程式です。

次に、頂点が直線y = -x – 4上にあるという条件を使います。放物線の頂点のx座標は、一般に-2aで与えられます。したがって、頂点の座標は(-2a, y)です。

この頂点が直線y = -x – 4上にあるということは、頂点のx座標を直線の方程式に代入してy座標を求めることができるということです。

直線の方程式にx = -2aを代入すると、y = -(-2a) – 4 = 2a – 4となります。したがって、頂点のy座標は2a – 4です。

また、頂点のy座標は放物線の方程式におけるy値と一致します。つまり、y = (-2a)^2 + 2a(-2a) + bの式を求めることができます。

この式を計算すると、2a – 4 = 4a^2 – 4a + bとなります。

これで2つの方程式が得られました。

これらを連立させることで、aとbの値を求めることができます。まず、b = -2aを1つ目の方程式から代入して、次の式に変形します。

2a – 4 = 4a^2 – 4a – 2a

整理して、4a^2 – 8a – 4 = 0

この2次方程式を解くと、a = 1, b = -2となります。

以上の手順で、放物線の方程式y = x^2 + 2ax + bの定数aとbを求めることができました。結果として、a = 1, b = -2です。このように、与えられた条件を適用して、連立方程式を解くことで定数の値を求めることができます。