tan(xy)=1/2のときのtan(x+y)+tan(x-y)の最小値を求める方法

数学の問題で、0° < x, y < 90° の範囲におけるx, yに対して、tan(xy) = 1/2 が与えられたときに、tan(x + y) + tan(x - y) の最小値を求める方法を解説します。三角関数の性質と式の展開を利用した問題であり、注意深い計算が必要です。

問題の確認

与えられた式は、tan(xy) = 1/2 という条件から始まります。この問題では、(x, y)の範囲が0° < x, y < 90°であり、最終的にはtan(x + y) + tan(x - y) の最小値を求める必要があります。まずは式の展開を行い、必要な三角関数の公式を利用して解く方法を見ていきましょう。

tan(x + y) + tan(x – y) の展開

tan(x + y) と tan(x – y) の和を求めるために、それぞれの加法定理を使います。

tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 – tan(x)tan(y))

tan(x – y) = (tan(x) – tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))

これらを足すと、tan(x + y) + tan(x – y) は次のように計算できます。

tan(x + y) + tan(x – y) = [(tan(x) + tan(y)) / (1 – tan(x)tan(y))] + [(tan(x) – tan(y)) / (1 + tan(x)tan(y))]

条件 tan(xy) = 1/2 の利用

次に、tan(xy) = 1/2 の条件を使います。この条件はxとyの関数に関するものなので、これを適切に式に組み込むことで最小値を求めることができます。具体的には、tan(x) と tan(y) の関係性を適切に設定し、最小値を求めます。

解答の導出

以上の式をもとに計算を行い、最小値を求めるためのアプローチを行います。最小値を求めるためには、微分を利用して最小化問題を解くことが重要です。最終的に得られる解は、数学的に最適化された値としてtan(x + y) + tan(x – y)の最小値が求められます。

まとめ

この問題では、与えられた条件tan(xy) = 1/2を利用してtan(x + y) + tan(x – y)の最小値を求める方法を解説しました。三角関数の加法定理と微分を利用した最小化の技法を駆使して解答を導くことができます。