この問題では、平方完成を使って二次方程式を簡単な形に変換する方法を解説します。具体的な式 y = -x² + 4x – 4 から、平方完成を使ってどのように式を変形するのかについて説明します。
平方完成とは
平方完成は、二次方程式を簡単に扱うために使うテクニックです。この方法を使うと、二次式を「二乗の形」に変換できます。これにより、解の求め方やグラフの描き方が容易になります。
問題の式を平方完成する
与えられた式 y = -x² + 4x – 4 を平方完成していきます。まず、この式を見てみましょう。
y = -x² + 4x – 4
1. 最初に x² の係数を正にするために、式全体に -1 を掛けます。
y = -(x² – 4x + 4) + 4 – 4
2. 次に、x² – 4x + 4 の部分を完全な平方にします。この部分は (x – 2)² として表せます。
y = -(x – 2)² + 0
最終的な形と答え
したがって、平方完成した結果は。
y = -(x – 2)²
この式からわかるように、yはxの二乗の逆の形になっています。元々の式では、最初に -x² の項があったため、式を展開した後もマイナス符号がつくことがわかります。
平方完成後の解釈
この式 y = -(x – 2)² は、x = 2 のときに最小値 y = 0 を取ることを意味します。さらに、この式のグラフは下に凸の放物線で、x = 2 を中心に対称です。
まとめ
平方完成を使うと、二次式を簡単な形に変形することができます。今回の問題のように、y = -x² + 4x – 4 のような式でも平方完成をすることで、解をより簡単に理解することができました。
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