1/xと1/x^2の定積分の違いについて直感的に理解する方法

数学の定積分について、1/xの積分がx=0で定義できない一方で、1/x^2は収束する理由について直感的に理解する方法を解説します。

1/xの定積分が収束しない理由

まず、1/xの積分を考えます。1/xの積分は、次のように表されます。

∫ 1/x dx = ln|x| + C

しかし、x=0の付近では、1/xの値は無限大に発散します。したがって、0からの積分を考えると、無限大が現れるため、積分値は収束しません。このため、1/xの積分は0を含む範囲で定義できないのです。

次に、1/x^2の積分を考えます。

∫ 1/x^2 dx = -1/x + C

1/x^2の場合、xが0に近づくにつれて値は急速に大きくなりますが、1/xのように無限大に発散するわけではありません。特に、積分範囲が0に近づく場合でも、1/x^2は急激に減少していき、積分結果が収束するため、無限大になることはありません。

1/xと1/x^2の収束の速さの違いは、xが0に近づいたときの挙動に大きく関係します。1/xはxが0に近づくと無限大に発散しますが、1/x^2はその発散がより急速に収束します。この違いが、1/x^2の積分が収束する要因です。

直感的に言うと、1/x^2の関数は、x=0の近くでは非常に急激に減少するため、積分結果が収束します。一方、1/xはx=0で非常に大きな値に発散し、積分が無限大に向かってしまうため、収束しません。

1/xと1/x^2の定積分について、収束の速さが異なるため、1/x^2の積分は収束し、1/xの積分は収束しない理由を解説しました。1/x^2の関数は急速に減少するため収束する一方、1/xはx=0で無限大に発散するため、定積分ができません。