合成関数g(f(x))の定義域がf(x)の定義域と一致する理由について解説します。この問題は、関数の合成における基本的な概念を理解することが重要です。
合成関数とは
合成関数g(f(x))は、まずf(x)が定義された値に対してその出力をg(x)に代入する形で定義されます。つまり、f(x)が最初に作用し、その後g(x)が作用するという順番です。
定義域の概念
関数の定義域とは、関数が入力として取ることのできる値の範囲です。f(x)の定義域は、xの値がどの範囲でf(x)が計算可能かを示し、g(x)の定義域は、g(x)が入力として取ることのできる値を示します。
なぜ定義域が一致するのか
合成関数g(f(x))が定義されるためには、まずf(x)が定義されていなければなりません。つまり、f(x)の定義域に含まれる値だけがg(x)に入力として渡されます。しかし、g(x)がその値を受け入れられるためには、その値がg(x)の定義域に含まれている必要があります。したがって、g(f(x))が定義されるためには、f(x)の定義域がg(x)の定義域に適合する範囲である必要があります。
あなたの考えと違い
質問者は、f(x)の値域がg(f(x))の定義域と一致すると考えたようですが、実際にはg(f(x))の定義域はf(x)の定義域と一致します。なぜなら、f(x)の値域はg(f(x))に入力される値を決定しますが、g(x)自体の定義域に関係するのはf(x)の定義域です。
まとめ
合成関数g(f(x))の定義域がf(x)の定義域と一致する理由は、f(x)の定義域に含まれる値がg(x)で処理可能でなければならないからです。この関係を理解することで、関数の合成の本質をより深く理解できます。
コメント