数学Aの( a + b + c )^6の展開式の異なる項の数の求め方

数学Aの問題の中でも、( a + b + c )^6 の展開式の異なる項の数を求める問題は、組み合わせを利用して解く問題です。この記事では、展開式の項をどのように数えるか、具体的な方法をわかりやすく解説します。

(a + b + c)^6 の展開式について

まず、( a + b + c )^6 の展開式を考えます。これは、3つの項 (a, b, c) が6回掛け算される形です。展開すると、各項の指数の合計が6になるように、a, b, cの指数の組み合わせが必要です。

項の数を求める方法

(a + b + c)^6 の展開式の項の数を求めるためには、指数の和が常に6になるようなa, b, cの指数の組み合わせを数えます。これを組み合わせの問題として捉え、次のように考えます。a, b, c のそれぞれの指数を x, y, z として、x + y + z = 6 を満たす非負整数の組み合わせを求めれば良いのです。

組み合わせの公式を使う

このような場合、組み合わせの公式を使うことができます。具体的には、x + y + z = 6 の解の個数は、次の公式で求められます。

n 個の物を k 個の箱に分ける場合の組み合わせの数は、 (n + k – 1)C(k – 1) で求めることができます。ここで、n = 6 (合計指数)、k = 3 (a, b, c の3項) ですので、解の数は次のようになります。

(6 + 3 – 1)C(3 – 1) = 8C2 = 28

答え: 展開式の異なる項の数は28個

よって、(a + b + c)^6 の展開式には、異なる項が28個存在します。これがこの問題の解答です。

まとめ

( a + b + c )^6 の展開式の異なる項の数を求めるためには、組み合わせの問題として指数の和が6になるようなa, b, cの指数を数える必要があります。計算において、組み合わせの公式を用いることで解決できます。