放物線上の点A,Bの座標から直線ABの式と面積を求める方法

この問題では、放物線y = 1/2x²上にある2点AとBの座標から、直線ABの式や三角形AOBの面積を求め、さらに特定の条件を満たす直線や点Pの座標を求める問題です。問題を順番に解いていきましょう。

(1) 直線ABの式を求める

まず、点Aと点Bの座標が与えられています。点Aのx座標は-2、点Bのx座標は6です。それぞれのy座標は、放物線y = 1/2x²に代入して求めます。

点Aのy座標は、x = -2を代入してy = 1/2(-2)² = 2です。したがって、点Aの座標は(-2, 2)です。

同様に、点Bのy座標は、x = 6を代入してy = 1/2(6)² = 18です。したがって、点Bの座標は(6, 18)です。

次に、点A(-2, 2)と点B(6, 18)を通る直線の式を求めます。直線の方程式はy = mx + bの形で表せます。まず、傾きmを求めます。

傾きm = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (18 – 2) / (6 – (-2)) = 16 / 8 = 2です。

直線の式は、点Aの座標(-2, 2)を使って求めることができます。y – 2 = 2(x + 2)を展開して、y = 2x + 6です。

次に、△AOBの面積を求めます。三角形AOBの面積は、底辺×高さ/2で求めることができます。底辺は点A(-2, 2)から点B(6, 18)までの距離です。

底辺の長さは、|x2 – x1| = |6 – (-2)| = 8です。

高さは、原点O(0, 0)から直線ABまでの垂直距離です。直線の式はy = 2x + 6です。原点(0, 0)を代入して、0 = 2(0) + 6で、原点から直線ABまでの高さは6です。

したがって、面積は(8 × 6) / 2 = 24平方単位です。

△AOBの面積を2等分する直線を求めるためには、まず△AOBの面積の半分、つまり12平方単位の面積を持つ直線を探します。

直線は原点を通るので、直線の式はy = mxです。直線が△AOBを2等分するためには、直線とABが交わる位置で三角形の面積が12平方単位になる必要があります。

直線y = mxと直線ABとの交点を求め、その交点と原点Oを結んだ三角形の面積が12平方単位となるようにmを調整します。

最後に、放物線上の点Pを求めます。△APBの面積が△AOBの半分、すなわち12平方単位になるように点Pを取る必要があります。

△APBと△AOBの面積の比が1/2になるためには、点Pの位置が△AOB内の特定の位置にある必要があります。このとき、点Pのx座標は-2より大きく、6より小さい範囲で求めることができます。

放物線y = 1/2x²上の点Pの座標を求めるために、△APBの面積を求める式を立て、面積比が1/2になる条件を満たすx座標を計算します。

この問題では、放物線上にある点AとBを使って直線の式や三角形の面積を求め、さらに特定の条件を満たす直線や点の位置を求める方法を学びました。順を追って解くことで、複雑な図形の問題でも整理して解答を導くことができます。