数学B：2次関数の最小値と最大値の求め方【場合分けの解説】

この問題では、与えられた2次関数について、最小値と最大値を求める方法を解説します。また、場合分けの理由についても詳しく説明します。

問題の確認

与えられた関数は、y = x² – 2ax + 1（0 ≦ x ≦ 1）です。最初に、この関数の平方完成を行い、関数をより扱いやすい形にします。

y = (x – a)² – a² + 1 という形になります。この式は、x = a で最小値を取ることがわかりますが、aの値によって最小値の位置や値が異なります。

平方完成後の式を使って、最小値を求めます。まず、a の範囲に応じて最小値がどこで発生するかを考えます。以下のように場合分けします。

これらの場合分けは、関数の最小値をxの範囲において求めるために必要です。

次に、最大値を求めます。最大値は次のように場合分けして求めます。

この場合分けの理由は、関数の形がaの値によってどのxで最大値を取るかが変わるためです。特にa = 1/2の場合は、最大値がx = 0, 1の両方で1になるため、このように場合分けしています。

この問題では、2次関数の最小値と最大値を求めるために、平方完成を用いて関数の形を簡単にし、aの値によって場合分けをしました。それぞれの値を計算することで、最小値と最大値を求めることができます。場合分けの根拠は、関数の形とその特性に基づくものです。