三角比と単位円についての理解を深める

三角比（sin, cos, tan）は直角三角形に基づいた定義が最も一般的ですが、これを単位円を使って拡張する方法について詳しく説明します。

1. 三角比の基本的な理解

直角三角形において、角度θに対する三角比（sin, cos, tan）は、それぞれ三角形の辺の比として定義されます。例えば、直角三角形の直角を挟んだ辺がa、隣接辺がb、斜辺がcであれば、次のように定義されます。

• sin(θ) = a/c
• cos(θ) = b/c
• tan(θ) = a/b

このように、θが0°から90°の範囲内では直角三角形を使って三角比を簡単に求めることができます。

2. 単位円による三角比の拡張

三角比はθが0°から90°の範囲だけではなく、180°まで拡張することができます。この拡張を理解するために単位円を使います。

単位円とは、半径が1の円で、原点を中心としています。この円上の点で、角度θに対応する点を(x, y)とした場合、x座標がcos(θ)、y座標がsin(θ)になります。これにより、三角比は直角三角形に依存せず、単位円の座標として定義されるようになります。

3. 単位円での三角比の理解

例えば、θが30°の場合、単位円上の対応する点は(√3/2, 1/2)となります。したがって、sin(30°) = 1/2、cos(30°) = √3/2と計算できます。

また、単位円の特徴として、θが90°を超えた場合でも、単位円の座標を使ってcos(θ)とsin(θ)を求めることができるため、三角比は0°から180°まで連続的に拡張されます。

4. まとめ

三角比は、最初は直角三角形の辺の比で定義されますが、単位円を使用することで、角度が0°から180°まで広がることが理解できました。単位円上の座標としてsin(θ)とcos(θ)が定義されるため、直角三角形を用いなくても三角比を求めることができます。この拡張により、三角比はより一般的な角度に対しても適用できるようになりました。