本記事では、n個の正整数a[1], …, a[n]について、逆数の総和S = Σ[k=1,n] 1/a[k]を最大化する方法を解説します。具体的には、条件a[1] < ... < a[n]とS < 1/3を満たしつつ、Sを最大化する整数の組を求める問題について考察します。
1. 問題の理解
まず、問題の理解を深めるために、与えられた条件を整理します。n個の正整数a[1], …, a[n]に対して、逆数の総和Sは次のように表されます。
S = 1/a[1] + 1/a[2] + … + 1/a[n]
このとき、a[1] < ... < a[n]という順番が求められ、Sが1/3未満である必要があります。この条件の下で、Sを最大化するn個の整数の組を求めることが目標です。
2. 逆数の総和を最大化するための考え方
まず、Sを最大化するためには、a[1], a[2], …, a[n]の各整数を小さくすることが重要です。整数が小さいほど、その逆数は大きくなるため、Sの値も大きくなります。
具体的には、a[1]を1に、a[2]を2に、a[3]を3に、…と進めていくと、Sが最大化されます。しかし、条件S < 1/3を満たす必要があるため、どこまで整数を選べるかを計算する必要があります。
3. 実際の整数の組を求める
例えば、a[1] = 1, a[2] = 2, a[3] = 3, a[4] = 6の場合、逆数の総和は次のようになります。
S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 + 0.5 + 0.333 + 0.167 = 2.000
このように、Sが大きくなりすぎないように注意しながら、整数を決めていきます。
4. 最大化するn個の整数の組
実際に、条件を満たしながらSを最大化する整数の組を求めるためには、試行錯誤を行いながら選んでいくことが必要です。例えば、次の組み合わせが考えられます。
a[1] = 1, a[2] = 2, a[3] = 6 など。逆数の総和Sが1/3を満たすように、具体的な数値を計算することで解が得られます。
まとめ
この問題では、逆数の総和Sを最大化するために、各整数を小さくする必要があります。条件a[1] < ... < a[n]およびS < 1/3を満たしつつ、実際の整数の組を計算し、最大化する方法を理解しました。最終的に得られる解は、整数の組をいくつか試していくことで得られるものです。
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