関数f(x) = (x + a)e^(2x^2)において、極大値と極小値をもつためのaの範囲を求める問題です。まず、極値を求めるために必要なステップを解説し、その後に解法を示します。数学的な手法を使って、aの条件を導き出しましょう。
1. 関数の微分を求める
関数f(x) = (x + a)e^(2x^2)において、極大値や極小値を求めるためには、まずf(x)の1階微分を求める必要があります。連鎖律を使って、次のように微分します。
f'(x) = (x + a) * d/dx[e^(2x^2)] + e^(2x^2) * d/dx(x + a)
d/dx[e^(2x^2)] = e^(2x^2) * 4x
d/dx(x + a) = 1
したがって、f'(x)は次のように求められます。
f'(x) = (x + a) * 4x * e^(2x^2) + e^(2x^2)
f'(x) = e^(2x^2)[(x + a) * 4x + 1]
2. 極値を求めるための条件
極値を求めるためには、f'(x) = 0となるxの値を求めます。
e^(2x^2)は常に正なので、方程式は次のようになります。
(x + a) * 4x + 1 = 0
これを展開すると、次のようになります。
4x^2 + 4ax + 1 = 0
3. 判別式を使って解の範囲を求める
2次方程式4x^2 + 4ax + 1 = 0の解の有無を判断するために、判別式Dを求めます。
D = (4a)^2 – 4 * 4 * 1 = 16a^2 – 16
極値が存在するためには、判別式Dが0以上である必要があります。
D ≥ 0 より、16a^2 – 16 ≥ 0
a^2 ≥ 1
したがって、a ≥ 1 または a ≤ -1となります。
4. 結論
したがって、関数f(x) = (x + a)e^(2x^2)が極大値と極小値をもつためのaの範囲は、a ≥ 1 または a ≤ -1となります。
この範囲であれば、f(x)は実数の範囲で極大値と極小値を持ち、解析が可能となります。
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