この問題では、素数より小さな数の積がその素数の倍数ではないことを示す必要があります。素数とその性質を理解することが、この証明のカギとなります。
素数の定義と特徴
素数とは、1とその数自身以外には約数を持たない自然数です。例えば、2、3、5、7、11などが素数です。これに対して、1より大きい自然数で、素数ではないものを合成数と言います。
問題の確認と考え方
問題では、ある素数pより小さな整数の積がその素数pの倍数ではないことを示す必要があります。つまり、pより小さい整数の積がpで割り切れない場合、pがその積の因数にならないことを証明するわけです。
証明のアプローチ
まず、pより小さい任意の整数aとbを考えます。a、bの積abがpの倍数でない場合、それはpの倍数で割り切れないということです。もしaまたはbがpの倍数であれば、abもpの倍数となりますが、aもbもpの倍数でないなら、abはpの倍数ではないことがわかります。
実際の例
例えば、p=5の場合を考えてみましょう。5より小さい整数は1、2、3、4です。これらの積で、5の倍数となるものはありません。例えば、2と3を掛け合わせた6は5の倍数ではなく、4と3を掛け合わせた12も5の倍数ではありません。
結論
したがって、素数pより小さな数の積がその素数pの倍数でないことがわかります。この証明は、素数の定義に基づき、任意の数が素数の倍数でない場合に適用されることを示しています。
コメント