フーリエ解析入門④の周期Lに対応するf(x)の式の導出方法

「ヨビノリたくみさんのフーリエ解析入門④」の15:16あたりで登場する周期Lに対応するf(x)の式について、どのように導出するかを解説します。周期2πに対応するf(t)の式から、xとtの関係式を使ってf(x)を求める方法について順を追って説明します。

1. 2πの周期からLの周期へ

まず、周期が2πである関数f(t)が与えられている場合、tとxの関係を導入することで、周期がLに対応するf(x)を求めます。この変換は、関数の引数における変数変換を行うことに相当します。

周期Lに対応する関数は、tにxを代入することで得られる形に変換されます。具体的には、周期が2πの関数を周期Lに変換するためには、変数xを使って次のように変換します。

関数f(t)をf(x)に変換するために、t = πx / Lという関係を使います。ここで、tがxの関数であるため、f(t)の式をf(x)に置き換えると、次のようになります。

f(x) = f(πx / L)

これで、周期Lに対応するf(x)が得られます。tとxの関係を理解することが、変換の鍵です。

変換後の式は、関数f(t)をxの関数として表したものです。具体的な式は、f(t)におけるtをxに置き換えた形になります。この変換により、元々の関数が周期2πから周期Lに変わります。

この変換を行った後、必要に応じてf(x)を整理して、最終的な式を得ることができます。

周期Lに対応するf(x)の式を求めた後は、具体的な数値を代入して計算し、正しい式が得られたかを確認します。この手順は、フーリエ解析の基本的な考え方に基づいた方法です。

周期Lに対応するf(x)の式は、周期2πの関数f(t)をt = πx / Lという関係を用いてxの関数に変換することで求めることができます。この方法を使って、フーリエ解析における変数変換を正しく行い、問題を解くことができます。