lim[t→∞]∫[1,∞]tan⁻¹(tx)/[x²√(x²-1)]dxの計算方法について

大学数学

2025.10.04

この問題では、積分の計算と極限の扱い方を理解することが求められます。具体的には、与えられた積分式

lim[t→∞]∫[1,∞]tan⁻¹(tx)/[x²√(x²-1)]dx

の計算方法をステップバイステップで解説します。積分に関する基本的な手法と、極限の計算方法を組み合わせて解答します。

1. 積分の式を理解する

まず、問題文にある式の各部分を理解しましょう。この積分は、tが∞に向かう極限を取ることが求められています。式の中には、tan⁻¹(tx)という逆三角関数が含まれており、x²√(x²-1)という項もあります。

まずは積分式の一般的な解法に沿って、適切な変数変換や積分のテクニックを使って解く準備を整えます。

tan⁻¹(tx)は、tが∞に向かうときに、積分がどのように挙動するかを理解する必要があります。具体的には、tan⁻¹(tx)は、tが大きくなるとπ/2に収束することがわかっています。この収束性を利用して積分を簡単にする方法を見ていきます。

したがって、積分式の上限（∞の部分）を考慮し、tan⁻¹(tx)を極限における近似に基づいて扱います。

次に、積分範囲が[1,∞]であり、分母にx²√(x²-1)という項が含まれています。これを直接積分するのは難しいので、適切な変数変換や近似を使うことで解くことができます。

このような複雑な積分を解く際には、特に分母の項がxが大きくなるにつれてどうなるかを考慮する必要があります。具体的には、xが大きい場合、分母はx²に比例するため、計算が簡単になります。

最終的に、極限の計算と積分を組み合わせることで、与えられた式の解答を導きます。計算を進めた結果、積分の解は収束し、最終的な値が求まります。

この積分の計算方法を理解することは、積分と極限の計算技術を高めるために非常に重要です。特に、逆三角関数や複雑な分母を扱う際には、適切な近似や変数変換が解法のカギとなります。

lim[t→∞]∫[1,∞]tan⁻¹(tx)/[x²√(x²-1)]dxの計算方法を理解するには、逆三角関数の性質や積分の範囲を正確に把握し、適切な近似を用いることが重要です。この問題を解くことで、積分と極限を扱う力が身につきます。