サイコロ100回投げて6の目がm回出る確率Pが最大になるmを求める方法

この問題では、サイコロを100回投げて6の目がちょうどm回出る確率Pを最大にするmを求めます。確率の最大化に関する問題は、確率分布を利用して解くことができます。サイコロの目が6である確率は1/6で、その他の目が出る確率は5/6です。これをもとに、最も確率が高くなるmを求めます。

問題の設定と基本的なアプローチ

サイコロを100回投げるとき、各回の結果は独立しており、6が出る確率は1/6、6以外の目が出る確率は5/6です。このような確率分布を持つ場合、m回6が出る確率Pは二項分布に従います。二項分布の確率質量関数を使って、Pを求めることができます。

二項分布の確率質量関数

二項分布の確率質量関数は次のように表されます：
P(m) = C(100, m) * (1/6)^m * (5/6)^(100-m)
ここで、C(100, m)は組み合わせの数、(1/6)^mはm回6が出る確率、(5/6)^(100-m)は6以外の目が出る確率です。これを使ってP(m)を計算します。

確率Pを最大化するmを求める

確率Pを最大化するmを求めるためには、P(m)をmについて微分し、最大値を取るmを求めます。計算を行うと、P(m)はm=100/6 ≈ 16.67付近で最大となることが分かります。実際のmは整数なので、m=16またはm=17のどちらかが最も高い確率を持つ値となります。

まとめ

サイコロを100回投げて6の目がちょうどm回出る確率Pが最大となるmの値は、計算によりm=17またはm=16が最適であることが分かります。確率分布を理解し、微分を使って最適な値を求めることでこの問題を解くことができました。