xy平面における曲線と直線の接点と対称移動の面積計算

この問題では、与えられた曲線と直線に関連する幾何学的な問題を解決します。まず、曲線Cと直線lの接点を求め、その後、直線lを軸にして曲線Cを対称移動させた場合の新しい曲線C’を求め、最終的にxy軸と曲線C、C’に囲まれる領域の面積を計算します。

問題の概要

曲線Cはy=3^xで与えられ、直線lはy=axの形で与えられています。この直線が曲線Cと接する点を求め、直線lを軸にして曲線Cを対称移動させたときの新しい曲線C’を求め、その面積を計算するという問題です。

まず、曲線Cと直線lが接する点Pを求めます。曲線Cの式はy=3^x、直線lの式はy=axです。接点での条件は、yの値が一致するだけでなく、傾きも一致することです。したがって、まずy=3^xとy=axを連立させ、さらに接点での微分を考えます。微分を行い、接点Pの座標を求めることができます。

次に、直線lを軸にして曲線Cを対称移動させる方法を考えます。対称移動の方法は、各点の位置を直線lを中心に反転させることです。反転の式を用いて、曲線Cを移動させた新しい曲線C’の方程式を求めます。ここでは、対称移動後の点がどう変化するかを計算することが重要です。

最後に、曲線CとC’がxy軸と囲む領域の面積を計算します。面積を求めるには、積分を用いて曲線CとC’が囲む領域を計算します。具体的には、曲線Cと曲線C’の間の領域を積分し、その結果を求めることで面積が得られます。

この問題は、接点の計算、対称移動による変換、積分を使った面積計算という3つの主要なステップを含んでいます。それぞれのステップを順番に解くことで、問題を段階的に解決できることがわかります。具体的な計算式や積分の手順をしっかり理解しながら解いていきましょう。