一次元結晶において、格子間隔が2.5Aで、電界が加わった場合に電子がエネルギー帯の最低エネルギーから最高エネルギーへ遷移するのに必要な時間を求める問題の解法について解説します。この問題は電場による加速と遷移に関連しており、適切な物理法則を使って計算を進めます。
問題の理解と必要な式の導出
まず、一次元結晶の構造における格子間隔が2.5A（オングストローム）と与えられています。また、2つの異なる電界（10^2 Vm^-1 と 10^7 Vm^-1）を加えた場合に電子が最低エネルギーから最高エネルギーに遷移する時間を求める問題です。この問題では、電場によって電子が加速されることを考慮し、エネルギー遷移にかかる時間を求める必要があります。
電子が遷移する際、必要なエネルギーの差は電界によって決まります。エネルギーの差は、電子が加速される距離と電界の強さに依存します。このエネルギー差を使って、電子が最低エネルギーから最高エネルギーへ遷移するために必要な時間を求めます。
エネルギー差と遷移時間の計算
エネルギー差は次のように求められます。
エネルギー差 ΔE は次の式で表されます。
ΔE = e * E * d
ここで、e は電子の電荷、E は電界の強さ、d は格子間隔です。
このエネルギー差を使って、遷移時間を求めるためには、遷移に関与する電子の加速度を求め、その加速度から時間を計算します。電子の加速度は次のように求められます。
a = e * E / m
ここで、m は電子の質量です。
この加速度を使って、遷移に必要な時間 t は次の式で求められます。
t = √(2 * d / a)
ここで、d は格子間隔で、a は加速度です。この式を使って遷移時間を求めます。
実際の計算例
まず、格子間隔 d = 2.5A = 2.5 × 10^-10 m と与えられています。また、電子の電荷 e = 1.6 × 10^-19 C、電子の質量 m = 9.11 × 10^-31 kg です。
1. 電界 E = 10^2 Vm^-1 の場合。
エネルギー差 ΔE = e * E * d = (1.6 × 10^-19 C) * (10^2 Vm^-1) * (2.5 × 10^-10 m) = 4.0 × 10^-27 J
加速度 a = e * E / m = (1.6 × 10^-19 C) * (10^2 Vm^-1) / (9.11 × 10^-31 kg) = 1.76 × 10^12 m/s²
遷移時間 t = √(2 * d / a) = √(2 * (2.5 × 10^-10 m) / (1.76 × 10^12 m/s²)) ≈ 2.68 × 10^-11 s
2. 電界 E = 10^7 Vm^-1 の場合。
エネルギー差 ΔE = e * E * d = (1.6 × 10^-19 C) * (10^7 Vm^-1) * (2.5 × 10^-10 m) = 4.0 × 10^-2 J
加速度 a = e * E / m = (1.6 × 10^-19 C) * (10^7 Vm^-1) / (9.11 × 10^-31 kg) = 1.76 × 10^14 m/s²
遷移時間 t = √(2 * d / a) = √(2 * (2.5 × 10^-10 m) / (1.76 × 10^14 m/s²)) ≈ 2.68 × 10^-13 s
まとめ
このようにして、一次元結晶における電子のエネルギー遷移に必要な時間は、電界の強さに依存して変化します。電界が強ければ強いほど、遷移にかかる時間は短くなります。具体的には、電界が 10^2 Vm^-1 の場合は約 2.68 × 10^-11 秒、10^7 Vm^-1 の場合は約 2.68 × 10^-13 秒という結果になりました。このような計算を通じて、電子の遷移時間を求めることができます。
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