三角すいの回転体積を求める問題は、図形を回転させた後の体積を計算することで解決できます。この問題では、底面が△ABCで、内接円があり、点Pが点Oと結ばれる垂線であることを考慮して、回転後の立体の体積を求めます。この記事では、問題の理屈を解説し、どのように回転した後の円錐を抜くのかを説明します。
問題の設定と回転体積の求め方
まず、三角すいP-ABCについて考えます。底面△ABCには半径1の円が内接しており、辺AB=3、AC=4、BC=5の直角三角形です。点Pは、△ABCの内接円の中心Oと垂直に結ばれており、その長さは√14です。この状態で、点Pを軸にして回転させた立体の体積を求めることが求められています。
回転体積の求め方には、回転した後に形成される円環の面積を求め、そこから高さを掛けるという方法を使います。この問題では、回転させた結果得られるのは円錐のような立体ですが、底面の△ABCを除外する必要があります。
円錐が抜かれる理由
問題の解説には「円錐が抜かれる」という表現がありますが、これは、回転した後に底面△ABCから外れる部分を考慮するためです。回転軸が点Pを通り、円環の内半径は内接円の半径1、外半径は△ABCの辺の長さに基づきます。
この回転によって、内接円を基にした円錐の体積ができ、同時にその上にさらに広がる円環部分の体積が求められます。この円環の体積から、回転してできた円錐部分を引くことで、最終的な立体の体積を求めることができます。
立体の体積計算方法
回転した立体の体積を求めるためには、まず内接円を基にした円錐の体積を求めます。円錐の体積は、次の式で求められます。
円錐の体積 = (1/3) * π * r² * h
ここで、rは内接円の半径（1）、hは点Pから内接円の中心Oまでの高さ（√14）です。円錐部分の体積を求めた後、回転体積からこの円錐を引いて最終的な体積を計算します。
まとめ：三角錐の回転体積を求める手順
三角すいの回転体積を求める際には、まず回転によって形成される円環の面積を求め、そこから円錐部分を引きます。円錐が抜かれる理由は、回転後の立体が円環と円錐の組み合わせで構成されているからです。具体的な計算手順を追うことで、この問題を解決することができます。
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