数Ⅲ青チャートの問題解説: 恒等式におけるa+b=0の理由

数Ⅲ青チャートの例題11の問題で、
(a+b){x²+(a-b)x-1}=0 という式において、なぜa+b=0であり、a-b=0ではないのかという疑問が生じています。この記事では、その理由を解説します。

1. 恒等式と係数比較

まず、この式がxについての恒等式であることを理解する必要があります。恒等式とは、xの値に関わらず成立する式です。つまり、(a+b){x²+(a-b)x-1}=0の式が常に成り立つためには、式の中の各項が全て0である必要があります。これを達成するためには、xの各項の係数が0でなければなりません。

式を展開すると次のようになります。

(a+b)(x² + (a-b)x – 1) = (a+b)x² + (a+b)(a-b)x – (a+b)

これをxの各項で比較すると、x²の項とxの項、定数項のそれぞれに対応する係数がそれぞれ0である必要があります。

まず、x²の項を見てみましょう。x²の係数は(a+b)です。恒等式として成立させるためには、この係数が0でなければなりません。したがって、a+b=0である必要があります。

次に、xの項を見てみましょう。xの項の係数は(a+b)(a-b)です。恒等式として成立させるためには、この係数も0でなければなりません。しかし、a+b=0とすでに分かっているため、(a+b)(a-b)は自動的に0となります。

a+b=0とすることでxの項が0になるため、a-b=0である必要はありません。a-b=0でなくても、a+b=0が成立していれば、恒等式は成立するからです。

この問題では、xの各項の係数が0でなければならないため、a+b=0が必要です。a-b=0でなくても、a+b=0が成立していれば問題ありません。恒等式の条件を満たすために必要な条件をしっかりと確認することが重要です。