ベクトルの最小化と垂直関係に関する数学Cの解説

数学Cで出てくるベクトルの問題は、ベクトルの計算や最小化の考え方をしっかり理解することが大切です。ここでは、与えられたベクトルに関する問題を解説します。

問題の整理

問題は、2つのベクトル aベクトル = (1, 3) と bベクトル = (1, -2) に対して、cベクトル = aベクトル + t * bベクトルという形で与えられています。

ここでは、(1) cベクトルの二乗の大きさ、(2) cベクトルの大きさが最小になる t の値、(3) cベクトルが最小のとき、bベクトルとcベクトルが垂直であることを証明する問題です。

まず、cベクトル = aベクトル + t * bベクトルの大きさを求めるためには、cベクトルを成分に分解し、その大きさを求めます。cベクトル = (1 + t, 3 – 2t) ですから、cベクトルの大きさの二乗は次のように計算できます。

|cベクトル|^2 = (1 + t)^2 + (3 – 2t)^2

これを展開すると、cベクトルの二乗の大きさの式が得られます。

次に、cベクトルの大きさが最小になる t の値を求めます。最小値を求めるためには、cベクトルの大きさの二乗を t に関して最小化する必要があります。

cベクトルの大きさの二乗の式を微分して、最小値を求めることができます。微分を行うと、最小値が得られる t の値が分かります。

cベクトルが最小のとき、bベクトルと cベクトルが垂直であることを証明するには、ベクトルの内積を用います。

bベクトルと cベクトルが垂直であるとは、bベクトル · cベクトル = 0 であることを示すことです。この条件を使って、最小のときに bベクトルと cベクトルが垂直であることを証明します。

この問題は、ベクトルの計算や最小化の問題で、特に微分や内積の計算を通して数学的な理解を深める良い練習になります。これらの解法をしっかりと覚えて、他のベクトルの問題にも応用できるようにしましょう。