この問題では、与えられた二次関数「y = -2x² + 4x + c」の最大値が6であるときに、定数cの値を求める方法を解説します。問題文に従い、式を順番に整理し、必要な計算を行っていきます。
二次関数の最大値を求めるための準備
まず、与えられた関数y = -2x² + 4x + cを標準形に変形します。二次関数の最大値や最小値は、平方完成を用いることで求めることができます。
関数y = -2x² + 4x + cの平方完成を行います。まず、x²の係数が-2なので、それを1で割るために式全体を-2で割ります。
平方完成を行う
y = -2(x² – 2x) + c となります。
次に、x² – 2x の部分に平方完成を行います。x² – 2xを平方完成すると、(x – 1)² – 1 になります。
これを元の式に代入すると、y = -2((x – 1)² – 1) + c となります。
最大値を求める
y = -2(x – 1)² + 2 + c となり、この式の最大値はx = 1のときに達成されます。なぜなら、(x – 1)²は最小値0を取るため、yの最大値はy = 2 + cとなります。
問題文によると、最大値が6であるとされているので、2 + c = 6 となります。
cの値を求める
2 + c = 6 から、c = 4 となります。
まとめ
したがって、y = -2x² + 4x + cの最大値が6であるとき、cの値は4です。このように、平方完成を用いることで、二次関数の最大値や最小値を簡単に求めることができます。
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