相加平均と相乗平均の関係とは？条件と使い方を徹底解説

数学の平均に関する問題でよく出てくる「相加平均」と「相乗平均」。これらの関係や条件について、特に「a > 0, b > 0」なのか「a ≧ 0, b ≧ 0」なのか迷う方も多いでしょう。本記事では、相加平均と相乗平均の基本的な概念から、条件に関する疑問を解消するための解説を行います。

相加平均と相乗平均とは

まずは相加平均と相乗平均の定義を簡単に確認しましょう。相加平均は、与えられた数値の和をその数値の個数で割ったものです。一方、相乗平均は、その数値の積をその数値の個数で累乗根を取ったものです。

具体的に、a と b の2つの数について考えると、相加平均は (a + b) / 2 となり、相乗平均は √(a * b) となります。

相加平均と相乗平均には重要な関係があります。それは、「相加平均は相乗平均以上である」という関係です。この関係は、「算術平均と幾何平均の不等式」としても知られています。

この不等式は、a と b の両方が正の値である場合に成り立ちます。つまり、a > 0 および b > 0 の場合、(a + b) / 2 ≥ √(a * b) という式が成立します。

質問にあったように、「a > 0, b > 0」か「a ≧ 0, b ≧ 0」という条件ですが、相加平均と相乗平均を比較するためには、a と b が正の数である必要があります。

相乗平均において、a または b が 0 であると、相乗平均は 0 になりますが、この場合、相加平均との不等式は成立しません。したがって、相加平均と相乗平均の関係を成り立たせるためには、a, b の両方が 0 より大きい必要があります。

実際に数値を使って相加平均と相乗平均の関係を確認してみましょう。

例えば、a = 4 と b = 9 の場合、相加平均は (4 + 9) / 2 = 6.5 です。相乗平均は √(4 * 9) = 6 です。

このように、相加平均が相乗平均より大きいことが確認できます。逆に、a = 0 と b = 9 の場合、相加平均は (0 + 9) / 2 = 4.5 で、相乗平均は √(0 * 9) = 0 となり、不等式は成立しないことがわかります。

相加平均と相乗平均の関係は、「相加平均は相乗平均以上である」という重要な法則です。この法則が成り立つためには、a と b が両方とも正の数であることが必要です。数学の問題においてこの不等式を使う際は、条件をしっかりと確認してから適用しましょう。