高1数学：関数 y = 1/2(x + 3)² - 3/2 の最大値を求める方法とaの範囲

この問題では、関数 y = 1/2(x + 3)² – 3/2 の最大値を求めるために、定義域 -6 ≦ x ≦ a が与えられたときに、x = a で最大値を取るための a の範囲を求める方法を解説します。具体的な解法を途中式を交えて、順を追って説明します。

問題の設定と解法のアプローチ

まず、この関数は二次関数の形をしています。二次関数の最大値または最小値は、そのグラフの頂点で得られます。y = 1/2(x + 3)² – 3/2 のグラフは上に凸（最小値を取る）または下に凸（最大値を取る）となりますが、今回は最大値を取る x の範囲を求める問題です。

二次関数の一般的な形式 y = a(x – h)² + k において、頂点の座標は (h, k) です。ここではその頂点を見つけ、与えられた条件に基づいて最大値をとる a の範囲を求めます。

まず、関数 y = 1/2(x + 3)² – 3/2 を展開して頂点の位置を明確にしましょう。

この関数は、x の二乗項が正の値であり、グラフが上に凸であることがわかります。したがって、最小値は頂点で得られます。グラフの頂点の x 座標は -3 です。これが最小値を取る位置です。

さて、問題では定義域が -6 ≦ x ≦ a で与えられています。この範囲において、x = a で最大値を取るためには、x の値が頂点 -3 より大きい場合において、y の値が最大になるような a の範囲を求めます。

このためには、x = -3 より大きい範囲で y が増加し、a がその範囲における最大値を取ることを確認します。式の形から、a ≥ -3 となる必要があります。

この問題では、関数 y = 1/2(x + 3)² – 3/2 の最大値を取るための a の範囲を求めました。x = -3 の点で最小値を取り、定義域 -6 ≦ x ≦ a で最大値を取るためには、a が -3 以上である必要があります。したがって、a の範囲は a ≧ -3 です。