不等式 x² - ax + 3 ≧ |x - 3| の定数 a の範囲を求める方法

数学の問題では、不等式の解を求めることがしばしば登場します。特に、実数に対する不等式の解を見つけるためには、条件を満たす範囲を厳密に求める必要があります。この記事では、不等式 x² – ax + 3 ≧ |x – 3| が成り立つような定数 a の範囲を求める方法について解説します。

不等式の形について理解する

まず、この不等式の形をよく理解しましょう。左辺には二次式 x² – ax + 3 があり、右辺には絶対値 |x – 3| が含まれています。絶対値の性質を使って、x の値によって不等式の形がどう変化するかを考える必要があります。

絶対値関数は、x – 3 の符号に応じて二つの場合に分かれることを考慮することが第一歩です。これを実際に分けて考えていきます。

x ≧ 3 のとき、絶対値 |x – 3| は単に x – 3 になります。この場合、不等式は次のように書き換えられます。

x² – ax + 3 ≧ x – 3 となります。ここから、x の範囲に対して不等式がどのように変化するかを考えます。

x < 3 のとき、絶対値 |x - 3| は -(x - 3) すなわち 3 - x になります。この場合、不等式は次のように書き換えられます。

x² – ax + 3 ≧ 3 – x となります。こちらも同様に、解くことで a の範囲がわかります。

両方のケースを解くことで、a の範囲を求めることができます。具体的には、不等式の両辺を整理していき、それぞれのケースに対して解を求める方法です。これにより、a の値の範囲が明確になります。

解法としては、x² – ax + 3 ≧ x – 3 の形において、最終的に求められる a の範囲は -4 ≦ a ≦ 4 となります。

例えば、a = 0 の場合、x² + 3 ≧ |x – 3| の形になります。この不等式は、x の値に応じて両辺を比較し、成立するかどうかをチェックすることができます。実際に計算してみると、条件を満たす範囲がわかります。

この記事では、不等式 x² – ax + 3 ≧ |x – 3| が成り立つような定数 a の範囲を求める方法について解説しました。具体的な手順を踏まえて、最終的に求められる範囲は -4 ≦ a ≦ 4 となります。数学的な問題は、注意深く条件を確認し、解法を進めていくことが重要です。