3次方程式の解に関する問題で、特定の条件を満たすa, b, cの値を求めることは、代数的なスキルを磨く良い練習になります。この問題では、与えられた3次方程式x³+ax²+bx-8=0が2重解を持ち、もう1つの3次方程式x³-cx=0と共通の実数解を持つという条件をもとに、a, b, cを求めます。この記事では、この問題を解くための手順をわかりやすく解説します。
問題の整理と式の立て方
まず、与えられた2つの方程式を整理しましょう。最初の方程式はx³+ax²+bx-8=0で、2重解を持つとされています。2重解とは、少なくとも1つの解が重複していることを意味します。
次に、2番目の方程式x³-cx=0は、実数解を2つ共有すると言っています。これは、この方程式の解の一部が、最初の方程式の解と一致することを示唆しています。これらの情報を使って、a, b, cを求めるための方程式を立てます。
2重解を持つ3次方程式の特徴
3次方程式x³+ax²+bx-8=0が2重解を持つためには、この方程式が少なくとも1つの解を2回持つことが必要です。これを実現するためには、この方程式が因数分解できる形であることを確認します。
例えば、この方程式が(x – r)²(x – s) = 0という形で因数分解できると仮定すると、rは2重解であり、sはもう1つの解となります。これに基づいて、a, bの値を求めるための条件を導出します。
共通解を持つ2つの方程式
次に、2つ目の方程式x³-cx=0を考えます。この方程式はx(x²-c) = 0と因数分解できます。したがって、解はx=0またはx=±√cとなります。
最初の方程式が2重解を持ち、2番目の方程式と共通する解を持つため、最初の方程式の解rまたはsのいずれかがx=0またはx=±√cである必要があります。これにより、cの値を求めるための条件を設定できます。
a, b, cを求めるための具体的な計算
まず、最初の方程式が(x – r)²(x – s) = 0の形で因数分解できると仮定しました。この式を展開して、aとbを求めます。次に、rまたはsがx=0またはx=±√cである条件を使って、cの値を求めます。
このようにして、a, b, cの値を計算することができます。計算結果に基づき、解の条件を満たすa, b, cの値を求めることができます。
まとめ：a, b, cの値を求める方法
3次方程式x³+ax²+bx-8=0が2重解を持ち、もう1つの方程式x³-cx=0と共通の解を持つという問題では、与えられた条件に基づいてa, b, cを求めることができます。最初に方程式の因数分解を考え、次に共通解の条件を使ってa, b, cの値を求めることで、解答に至ります。この手順を理解し、他の類似した問題に応用できるようにしましょう。
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