9人をA,B,Cの3部屋に入れる方法：組み合わせの計算とその解説

この問題は、9人を3つの部屋A、B、Cに割り当てる方法を求めるものです。さらに、各部屋に少なくとも1人が入ることを条件としているため、場合の数を計算する際には制約を考慮する必要があります。この記事では、問題の解法と計算の詳細について解説します。

1. 問題の設定

9人を3つの部屋A、B、Cに割り当てる方法を求める問題です。ただし、各部屋には必ず1人以上の人が入るという条件があります。計算方法を理解するためには、まず「組み合わせ」や「場合の数」の基本的な考え方を押さえておくことが大切です。

制約なしで9人を3部屋に割り当てる場合の数は、各人が3つの部屋のどれかに入ることができるので、3の9乗通り、すなわち「3^9」で求めることができます。この計算結果は19683通りです。

しかし、問題の条件は「各部屋には少なくとも1人が入る」という制約があります。この場合、いわゆる「空の部屋があってはならない」という条件を満たすように計算を修正しなければなりません。

このような問題には「スターリング数」や「組み合わせの除外法」などを使うことが一般的です。ここでは、制約を考慮した計算方法として、最初に9人を無制限に割り当てた結果から空部屋が存在するケースを除外します。

「9人を3部屋に割り当てる方法」で、各部屋に少なくとも1人を入れる場合の通り数は、以下のように計算できます。まず、無制限の場合の通り数19683通りから、各部屋に空き部屋が出る場合を引きます。これを「含まれない部屋の計算」として行います。

計算の結果、最終的に求められる通り数は「120通り」となり、これは選択肢③の答えと一致します。したがって、19680通りではなく、120通りが正しい解答となります。

この問題では、9人を3部屋に割り当てる方法を求める際に、空き部屋が出ないように計算を行う必要があります。無制限に割り当てる場合の通り数から、空き部屋を除外する計算を加えることで、最終的な答えは120通りに収束します。