範囲の広さと標準偏差、95%信頼区間の関係についての解説

この問題では、標準偏差、信頼区間、そしてその範囲の広さについての理解を深めるため、各式がどのように成り立っているのか、またその関係性をどう考えるかについて説明します。特に、標準偏差と95%信頼区間の違いに関する疑問を解決します。

問題の整理

質問者が抱えている疑問は、標準偏差と95%信頼区間の関係についてです。具体的には、標準偏差がσであり、95%信頼区間が平均±標準誤差×1.96で求められることを理解していますが、nが3以下の場合に標準偏差が信頼区間より小さくなるのではないかという点です。

まず、標準偏差（σ）と標準誤差の違いを明確にしておくことが重要です。標準偏差はデータのばらつきを示し、標準誤差はその標準偏差をサンプルサイズで割った値です。

信頼区間は、母集団の平均を推定する範囲を示します。95%信頼区間は、標本平均が母集団の平均からどれだけ離れているかを推定するために使用されます。式は以下の通りです。

95%信頼区間 = 平均 ± (標準誤差 × 1.96)

標準誤差は、標準偏差（σ）をサンプルサイズ（n）の平方根で割った値です。このため、サンプルサイズが小さい（nが小さい）ほど、信頼区間の幅が大きくなります。

質問の式「平均±標準偏差＞95%信頼区間（nが2以上の時）」について考えてみましょう。まず、標準偏差がσである場合、平均±標準偏差は「平均±σ」と表現できます。そして、95%信頼区間は「平均±(標準誤差×1.96)」です。

したがって、nが小さい（例えば、n=3以下）場合、標準誤差が大きくなり、信頼区間は標準偏差よりも広くなります。これにより、標準偏差＜95%信頼区間という関係が成り立つ場合があります。

質問にある「標準偏差＜95%信頼区間になる気がしますが、何か間違えているでしょうか？」という点について、説明した通り、サンプルサイズnが小さい場合、信頼区間は標準偏差よりも広くなることが一般的です。したがって、この現象は数学的に正しいです。

標準偏差と信頼区間はそれぞれ異なる意味を持ち、信頼区間はサンプルの平均がどれくらいの範囲にあるかを示すものであることを理解することが重要です。これを基に、標本サイズが小さい場合の推定の不確実性を考慮することができます。