√5が(n+6)/nと(n+7)/(n+1)の間にあるnの値を求める方法

数学の問題において、特定の範囲内に√5が位置するようなnの値を求める問題があります。今回は、√5が整数nに対して、(n+6)/n と (n+7)/(n+1) の間に存在するようなnを求める方法を解説します。

問題の整理と式の構築

まず、問題文を整理しましょう。「√5が(n+6)/nと(n+7)/(n+1)の間にある」とは、次の2つの不等式が成り立つことを意味します。

この2つの不等式を解くことで、nの範囲を求めることができます。

最初の不等式 √5 > (n+6)/n を変形してみましょう。

まず、(n+6)/nを分解します。これを計算すると、(n+6)/n = 1 + 6/n となります。

したがって、次の不等式を得ます。

√5 > 1 + 6/n

両辺から1を引き、6/n < √5 - 1 となります。ここで、√5 ≈ 2.236 なので、√5 - 1 ≈ 1.236 です。

したがって、6/n < 1.236 となり、n > 6 / 1.236 ≈ 4.85 です。この不等式から、nが5以上であることがわかります。

次に、√5 < (n+7)/(n+1)を解きます。この式も同様に分解していきます。

(n+7)/(n+1) = 1 + 6/(n+1)

したがって、次の不等式を得ます。

√5 < 1 + 6/(n+1)

両辺から1を引き、6/(n+1) < √5 - 1 となります。これも同様に、√5 - 1 ≈ 1.236 なので、6/(n+1) < 1.236 です。

したがって、n+1 > 6 / 1.236 ≈ 4.85 となり、n > 3.85 です。この不等式から、nが4以上であることがわかります。

最初の不等式からnが5以上、次の不等式からnが4以上であることがわかりました。したがって、この2つの条件を満たすnの値は、n = 5以上の整数であることが求められます。

問題の条件を満たすnの値は、n = 5 以上の正の整数です。このように、2つの不等式を解くことで、nの範囲を求めることができました。数学的な問題を解く際は、式の変形と不等式の解法を適切に使うことが重要です。