数学Iの二次関数に関する問題では、特に二次不等式の解法が重要です。質問の中で示された「1≦x≦4で常にf(x)≧0が成り立つのはf(1)≧0」という部分の意味がわからないという疑問について、どのように理解し、解くべきかを詳しく解説します。
問題の整理: 二次不等式とその条件
まず、問題文を整理しましょう。二次不等式は次のように与えられています。
x² + 2x + m(m – 4) ≧ 0
この不等式が、「①x≦1」「②1≦x≦4」「③x≧4」の各範囲で常に成り立つような定数mの値の範囲を求める問題です。特に②の場合の「f(1)≧0」の意味について解説します。
f(x)≧0が成り立つための条件
二次関数の不等式 f(x)≧0 が成り立つためには、関数がその範囲内で負の値にならない必要があります。具体的には、x = 1 と x = 4 における関数の値を確認し、これらの範囲で常にf(x)が0以上であることを確かめます。
「f(1)≧0」というのは、x = 1 のときに関数 f(x) の値が0以上であることを意味します。つまり、x = 1 における二次関数の値が0以上である必要があるのです。
f(1)の値を求める
二次関数 f(x) = x² + 2x + m(m – 4) のx = 1 のときの値を求めます。まず、x = 1 を代入してみましょう。
f(1) = (1)² + 2(1) + m(m – 4)
これを計算すると。
f(1) = 1 + 2 + m(m – 4) = 3 + m² – 4m
したがって、f(1)≧0 の条件は次のように変形できます。
m² – 4m + 3 ≧ 0
この不等式を解くと、mの値に関する範囲が求まります。
m² – 4m + 3 ≧ 0 の解法
m² – 4m + 3 ≧ 0 の不等式を解くためには、まず二次方程式 m² – 4m + 3 = 0 を解きます。この方程式を解くと。
m = (4 ± √(16 – 12)) / 2 = (4 ± √4) / 2 = (4 ± 2) / 2
したがって、m = 3 または m = 1 です。これらの解を使って不等式 m² – 4m + 3 ≧ 0 を解くと、m ≦ 1 または m ≧ 3 となります。
まとめ: mの値の範囲
質問にある「1≦x≦4で常にf(x)≧0が成り立つ」の条件を満たすためには、mの値は m ≦ 1 または m ≧ 3 である必要があります。このように、x = 1 のときの関数の値を使ってmの範囲を求めることができました。
この問題では、二次不等式を解く際に関数の特定の点での値が重要であり、範囲を決定するためには各点での関数の挙動をしっかり確認することが大切です。
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