この問題は、数学Aの有理数と無理数の性質を使って解く証明問題です。具体的には、a + b√6 = 0 の式において、a と b が有理数のとき、a = 0 かつ b = 0 であることを証明します。無理数の性質を活用して、bが0ではないと仮定した場合にどのように証明を進めるのかを解説します。
1. 問題の理解と前提
まず、問題文をしっかりと理解しましょう。式 a + b√6 = 0 において、a と b は有理数です。この式が成立するためには、a と b の値がどのように関係するのかを探ります。特に、√6 が無理数であることを利用することがポイントです。
2. b ≠ 0 と仮定した場合
次に、b ≠ 0 と仮定して証明を進めます。この仮定のもとで、式 a + b√6 = 0 が成り立つためには、a と b の値にどのような制約がかかるのかを考えます。無理数の√6が含まれているため、a + b√6 = 0 の式が成り立つためには、a = 0 かつ b = 0 でなければならないことを示します。
3. √6の無理数性を使った証明
ここで重要なのは、√6が無理数であるという性質です。無理数と有理数の積や和は無理数であり、有理数同士で成り立つ式と無理数が含まれる式は等しくなることはありません。この性質を使って、b ≠ 0 では矛盾が生じることを示し、最終的に a = 0 かつ b = 0 でなければならないことを証明します。
4. 最終的な結論と確認
以上の考察をまとめると、a + b√6 = 0 が成り立つためには、a = 0 かつ b = 0 である必要があることが分かります。この証明において、無理数√6の性質を上手く利用することが鍵となります。具体的な計算や証明の過程を追うことで、数学的な理解が深まります。
5. まとめと注意点
この問題のポイントは、無理数の√6を含む式において、どのように有理数との関係を扱うかということです。証明過程でb ≠ 0 と仮定した場合に矛盾が生じることを示すことができれば、a = 0 かつ b = 0 という結論に辿り着きます。問題の解き方をしっかり理解して、他の類似問題にも応用できるようにしましょう。
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