二次方程式 x² + ax + a + 2 = 0 の解がただ1つの場合、aの値を求める方法

二次方程式 x² + ax + a + 2 = 0 の解がただ1つしかないとき、aの値を求める問題について解説します。二次方程式が1つの解を持つ場合、それは重解（重複解）と呼ばれ、解の公式を使ってその条件を導き出すことができます。この記事では、具体的な手順を追ってaの値を求める方法を説明します。

解が1つ（重解）となる条件

二次方程式の解の数は、判別式（Δ）によって決まります。判別式は、以下の式で求められます。

Δ = b² – 4ac

ここで、a, b, cは二次方程式の係数です。解が1つ（重解）になるためには、判別式Δが0である必要があります。つまり、Δ = 0のときにのみ解が1つになります。

問題の方程式はx² + ax + a + 2 = 0です。これを標準形で書くと、x² + (a)x + (a + 2) = 0という形になります。ここで、aが係数として登場します。

解の公式におけるb, a, cの値を読み取ると、以下のように対応します。

解が1つであるためには、判別式Δが0である必要があります。Δを計算すると。

Δ = b² – 4ac = a² – 4(1)(a + 2)

この式を整理すると。

Δ = a² – 4a – 8

解が1つであるため、Δ = 0です。したがって、以下の方程式を解く必要があります。

a² – 4a – 8 = 0

上記の方程式は、二次方程式です。この二次方程式を解くために、解の公式を使います。解の公式は次の通りです。

a = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、b = -4, a = 1, c = -8なので、代入して計算します。

a = (4 ± √((-4)² – 4(1)(-8))) / 2(1)

a = (4 ± √(16 + 32)) / 2

a = (4 ± √48) / 2

a = (4 ± 4√3) / 2

a = 2 ± 2√3

したがって、解がただ1つとなるためには、aの値は2 ± 2√3であることが分かります。これにより、与えられた二次方程式が解が1つ（重解）となる条件を満たします。