関数y = ax²の変化の割合の求め方：実例と解説

中学数学の「関数y = ax²」について、変化の割合がなぜ一定ではないのか、またその求め方について詳しく解説します。特に「y = 1/2x²」の場合に、どうして変化の割合が2になるのかを、具体的な計算例とともに説明します。

変化の割合とは？

変化の割合とは、ある関数が与えられた区間でどのように変化するかを示すものです。関数y = ax²のように、xの値に対してyの値が変化する様子を観察することで、その変化の割合を求めることができます。しかし、直線のように一定でない関数では、変化の割合が区間ごとに異なります。

y = 1/2x²の関数における変化の割合

問題文の関数y = 1/2x²では、xが0から4まで増加する場合の変化の割合を求めます。この関数は2次関数で、xの値が増えるにつれてyの値も急激に変化します。まず、変化の割合を求めるためには、xの変化に伴ってyがどのように変化するかを計算する必要があります。

例えば、x=0からx=4までの変化を考えます。最初にx=0のときのyの値はy = 1/2(0)² = 0です。次にx=4のときのyの値はy = 1/2(4)² = 8です。このとき、yの変化量は8 – 0 = 8となります。

変化の割合の計算方法

変化の割合を求めるには、yの変化量をxの変化量で割ります。xの変化量は4 – 0 = 4ですので、変化の割合は8 ÷ 4 = 2となります。この計算からわかるように、y = 1/2x²の関数において、xが0から4に変化したときの変化の割合は2になります。

なぜ最初に1/2があるのか？

最初にy = 1/2x²と書かれている理由は、関数の形に関するものです。係数1/2は、xの2乗にかかる倍率を表しています。具体的に言うと、この関数ではxが1増えるごとにyは1/2倍されるのではなく、x²の値が1/2倍されるということです。

そのため、xが0から4に増加する際、yの増加分は1/2x²の影響を受けて2倍になります。つまり、最初に書かれていた1/2という値は、関数の定義を示しているに過ぎず、変化の割合に直接影響を与えるのは、xの変化に伴って計算されたyの増加量なのです。

まとめ

関数y = ax²において、変化の割合は区間ごとに異なります。今回の問題では、y = 1/2x²の関数でxが0から4まで増加した場合の変化の割合が2であることが分かりました。関数の形における係数は、変化の割合を求める際の計算には影響しないため、変化の割合を求める際には実際の変化量を計算することが重要です。