この問題では、f(z) = cosz / zsinz の留数を求める方法について解説します。特に、z = 0 での留数、z = π での留数、およびローラン展開を使った計算方法に焦点を当てます。
1. f(z) = cosz / zsinz の極と留数
関数 f(z) = cosz / zsinz について、z = 0 と z = nπ (n ≠ 0) に極があります。ここでは、z = 0 の留数を求める方法について詳しく見ていきます。
z = 0 における極は2位の極であるため、留数を求めるためにはローラン展開を用います。ローラン展開の形式でf(z) を表すと、留数が求めやすくなります。
2. z = 0 の留数
z = 0 の留数を求めるために、まず f(z) のローラン展開を行います。
f(z) = cosz / zsinz であり、cosz と sinz はそれぞれテイラー展開を用いて展開できます。これにより、f(z) のローラン展開を計算することができます。結果として、z = 0 の留数は 0 となります。
3. 1/z・cosz / sinz のローラン展開
f(z) をローラン展開するとき、特に 1/z という項に注目します。これにより、関数の特異点である z = 0 における項が取り出せ、留数を求めることができます。ローラン展開の中で、各項の係数が重要です。
ローラン展開を行うことで、(1/z – 2z/3 + …) の形で展開でき、留数が 0 であることが確認できます。
4. z = π の留数
次に、z = π での留数を求めます。ここでは、留数を求める公式として、(z – π) における簡単な処理を行います。
留数を求めるために、cosz / zsinz の微分を用いて、z = π での値を求めます。結果として、z = π での留数は 1/π となります。
5. まとめ
f(z) = cosz / zsinz の場合、z = 0 での留数は 0 であり、z = π での留数は 1/π です。ローラン展開を使って特異点の解析を行うことで、各留数を求める方法が理解できました。
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