この記事では、三角関数の基本的な問題について解説します。問題として与えられた条件、0°≦θ≦180°の範囲でtanθ＝4となるとき、sinθとcosθの値を求める方法を紹介します。
1. tanθ＝4の意味
まず、tanθ＝4という式が何を意味するのかを確認しましょう。tanθは三角関数の1つであり、sinθとcosθを使って次のように表すことができます。
tanθ = sinθ / cosθですので、tanθ＝4の場合、sinθ = 4 × cosθとなります。
2. 三角関数の恒等式を利用する
次に、sin²θ + cos²θ = 1という三角関数の恒等式を使います。この恒等式を使うことで、sinθとcosθの関係を求めることができます。
まず、sinθ = 4 × cosθという関係式を恒等式に代入してみましょう。
(4 × cosθ)² + cos²θ = 1
16 × cos²θ + cos²θ = 1となります。
3. 解の求め方
上の式を整理すると、17 × cos²θ = 1となり、cos²θ = 1/17となります。
よって、cosθ = ±√(1/17) となります。これにより、cosθの値が求まります。次に、sinθ = 4 × cosθの関係から、sinθの値も求めることができます。
sinθ = 4 × √(1/17) となります。したがって、sinθ = ±4/√17 となります。
4. 結論
tanθ＝4という条件の下で、sinθとcosθはそれぞれ次のように求めることができます。
sinθ = ±4/√17, cosθ = ±√(1/17)
これで、与えられた条件を満たすsinθとcosθの値が求められました。
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