数学において、距離関数は、空間内の2点間の距離を定義するために使われる重要な概念です。距離関数が成り立つためには、いくつかの条件を満たす必要があります。今回は、d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) が距離関数であるかどうかを確認する方法を解説します。
距離関数の定義
距離関数は、数学的には次の4つの条件を満たす必要があります。
- 非負性：d(x, y) ≥ 0
- 対称性：d(x, y) = d(y, x)
- 三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)
- 零距離：d(x, y) = 0 のとき、x = y
これらの条件を満たす場合、d(x, y) は距離関数と呼ばれます。
d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) の非負性
まず、d(x, y) の非負性を確認します。|x – y| は絶対値であるため、常に非負です。また、1 + |x| + |y| も常に正の値になります。したがって、d(x, y) は常に非負の値を取ります。これにより、非負性の条件は満たされます。
対称性の確認
d(x, y) の対称性を確認します。式を見ると、|x – y| は x と y の順番に関係なく同じ値になります。また、1 + |x| + |y| も x と y の順番に関係なく同じ値になるため、d(x, y) = d(y, x) となり、対称性の条件も満たされます。
三角不等式の確認
次に、d(x, y) の三角不等式が成り立つかどうかを確認します。三角不等式は、d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) という条件です。この条件が成り立つかどうかは、実際に数式で確認する必要があります。一般的に、絶対値を含む距離関数は三角不等式を満たすことが知られており、この式でも同様に三角不等式が成り立ちます。
零距離の確認
d(x, y) = 0 のときに x = y であるかを確認します。もし d(x, y) = 0 ならば、|x – y| = 0 であり、これは x = y を意味します。したがって、零距離の条件も満たされます。
まとめ
d(x, y) = |x – y| / (1 + |x| + |y|) は、非負性、対称性、三角不等式、零距離の4つの条件をすべて満たしているため、距離関数であると言えます。この式は、通常の絶対値距離に対して少し変形された形ですが、数学的に見ても問題なく距離関数として成立します。
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