確率が独立している場合、一回あたりの期待値を試行回数に掛けることで、全体の期待値が求まるという考え方は基本的に合っています。例えば、コインを7回投げる場合、表が出る回数の期待値は1回あたりの期待値0.5に試行回数7を掛けて計算することができます。この記事では、この計算方法がどのように成り立つのか、さらに記述問題での証明方法についても解説します。
1. 確率と期待値の基礎
確率における期待値は、ある事象が起こる確率とその事象による結果の積を全て足し合わせたものです。例えば、コイン投げの場合、表が出る確率は0.5、裏が出る確率も0.5です。この時、表が出た場合の結果を1、裏が出た場合の結果を0とした場合、期待値は次のように計算できます。
期待値 = (1×0.5) + (0×0.5) = 0.5
2. 期待値の加算性
期待値の一つの大きな特徴は加算性です。つまり、試行回数が増えると期待値もその分増えるということです。例えば、コインを7回投げた場合、1回あたりの期待値が0.5であれば、7回投げた場合の期待値は次のように計算できます。
期待値 = 0.5 × 7 = 3.5
したがって、コインを7回投げた場合、表が出る回数の期待値は3.5回です。
3. 記述問題での証明方法
期待値が加算されることを証明するためには、まず個々の試行が独立していることを示します。コイン投げのように独立した試行であれば、各試行ごとの期待値は独立しているため、全体の期待値はその合計として求められます。
証明の流れとしては、まず1回の試行での期待値を求め、次に試行回数を掛け合わせて全体の期待値を求めるという形になります。
4. まとめ
確率が独立している場合、一回あたりの期待値を試行回数に掛け合わせることで、全体の期待値が求まります。この基本的な考え方は確率論における基本的な法則であり、コイン投げなどの簡単な例で実証することができます。記述問題においては、この期待値の加算性を証明することで正しい答えを導き出すことができます。
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