三角関数の不等式と方程式の解法：tanθとsinθの問題を解く

三角関数の不等式や方程式を解くには、三角関数の基本的な性質や単位円を理解しておくことが重要です。この記事では、与えられた三角関数の不等式と方程式を解く手順と解説を、具体的な例を交えてわかりやすく説明します。

不等式 1) tanθ – 1 ≦ 0 の解法

まず、tanθ – 1 ≦ 0 の不等式を解くために、式を次のように変形します。

tanθ ≦ 1

ここで、tanθ = 1 となるθは、θ = π/4 + nπ (nは整数) です。これを使って、不等式を満たすθの範囲を求めます。0 ≦ θ ＜ 2π の範囲で考えると、θ = π/4 が解となります。

よって、この不等式を満たすθの範囲は、0 ≦ θ ≦ π/4 となります。

次に、√3tanθ ≧ -1 を解きます。まず、式を以下のように変形します。

tanθ ≧ -1/√3

tanθ = -1/√3 となるθは、θ = -π/6 + nπ (nは整数) です。この情報をもとに、tanθ ≧ -1/√3 を満たすθを求めます。0 ≦ θ ＜ 2π の範囲では、θ = 5π/6 と -π/6 の間の値となります。

したがって、この不等式を満たすθの範囲は、-π/6 ≦ θ ＜ 5π/6 です。

次に、方程式 sinθ = -1/2 を解きます。まず、sinθ = -1/2 の解となるθを求めます。単位円を考えると、sinθ = -1/2 となる角度は、θ = 7π/6 と 11π/6 です。

また、指定された範囲 -π/4 ≦ θ ＜ 7/4π に含まれる解を求めると、θ = 7π/6 が解となります。

今回解いた問題では、三角関数の基本的な性質を利用して不等式と方程式を解きました。tanθ や sinθ の解を求めるためには、単位円や三角関数の値を理解しておくことが重要です。問題を解く際には、範囲に注意して解を求めましょう。