f(k)の微分を使ってフレネル積分を計算する方法

この問題では、関数f(k)の定義に基づいて、フレネル積分の計算方法を理解することが求められています。関数f(k)は、積分式によって定義されていますが、この積分を微分することでフレネル積分を求める方法を解説します。

問題の定義

問題で与えられている関数は、次のように定義されています。

f(k) = ∫[0,∞] e^(-kx) * (sin(x) / x) dx

ここで、kは定数であり、積分式は無限区間[0,∞]で定義されています。この関数を微分することで、フレネル積分を計算します。

まず、f(k)の微分をkに関して行う必要があります。積分をkで微分するためには、積分の中にkが含まれているので、積分の順番に注意を払う必要があります。具体的には、次のように微分できます。

f'(k) = d/dk [ ∫[0,∞] e^(-kx) * (sin(x) / x) dx ]

積分の順番を入れ替え、微分を積分内に適用することができます。微分を行った結果、積分は次の形になります。

f'(k) = ∫[0,∞] -x * e^(-kx) * (sin(x) / x) dx

これをさらに整理することで、フレネル積分を導くことができます。

フレネル積分は、次のように定義されます。

F(x) = ∫[0, x] sin(t²) dt

この積分は、特定の関数に対して解析的に計算することができます。上記の微分式を使って、フレネル積分を求めることが可能になります。

f(k)を微分することで、フレネル積分を計算する方法を理解することができます。このように、積分の微分を通じて、数学的に複雑な積分を求める手法を学びました。最終的に、積分の変形を用いてフレネル積分を計算することができるため、これが問題の解法となります。