1から9までの数字を使った3桁整数の組み合わせ問題の解法

この問題は、1から9までの数字を使って3つの異なる3桁整数A、B、Cを作り、その組み合わせ数を求める問題です。ここでは、なぜ解き方に違いが生じるのか、そして正しい計算方法について詳しく解説します。

問題の整理
誤りの原因
正しい解法
まとめ

問題の整理

問題の条件は以下の通りです。

1から9までの数字を使って、3つの異なる3桁の整数A、B、Cを作る。
A＜B＜Cの関係が成り立つ。
3つの整数A、B、Cの数字を全て集めると、1から9までの数字がちょうど1回ずつ現れる。

これらの条件を満たす組み合わせの数を求めることが目的です。

誤りの原因

質問者が行った解き方では、まず9!通りの並べ方を計算し、次にA＜B＜Cという順番に対して6通りを除外して10080通りを求めました。しかし、この方法には誤りがあります。実際には、A＜B＜Cの順番に関して特別な制約があるため、この方法では計算が過剰になります。

正しい解法

正しい方法は、まず1から9の数字を使って、3つの整数A、B、Cを作るための順列を求めることです。

最初に、9つの数字を3つずつ選び、3桁の整数を作ります。これを9P3で計算できます。

次に、A＜B＜Cという制約を考慮すると、選んだ3つの数には1通りの順番しか適用されません。したがって、順番を考慮する場合の数は、9P3の結果を3!で割った値になります。具体的には、9P3 = 9 × 8 × 7 = 504通り、これを3! = 6で割ると、504 ÷ 6 = 1008通りとなります。