鋭角三角形ABCにおける不等式 AB - AC < 2AD の証明

三角形ABCにおいて、辺BCの中点をDとし、AB > AC であるとき、AB – AC < 2AD という不等式が成り立つことを証明します。この記事では、この不等式の証明をわかりやすく解説します。

問題の設定と定義

まず、鋭角三角形ABCを考えます。三角形ABCにおいて、AB > AC であり、BCの中点を点Dとします。このとき、AB – AC < 2AD を示すことが求められています。

ここで、DはBCの中点であるため、BD = DC です。さらに、ADはBDとDCを結ぶ直線分となります。この設定に基づいて、与えられた不等式が成立することを示す必要があります。

この不等式を証明するためには、ベクトルの方法を用いるのが効果的です。まず、点A、B、CをそれぞれベクトルA、B、Cとして表現し、DをBCの中点としてベクトルDを求めます。

ベクトルADを考えると、DはBCの中点なので、ベクトルDは以下のように表されます。

ベクトルD = (ベクトルB + ベクトルC) / 2

次に、ベクトルABとベクトルACを考え、AB – ACの大きさとADの関係を求めます。ベクトルABとベクトルACの差分に関する関係を解くことで、最終的にAB – AC < 2ADが成り立つことを示すことができます。

ベクトルを使った証明の他にも、三角形の不等式を利用する方法があります。三角形の不等式によれば、任意の三角形において、任意の2辺の長さの和は残りの1辺の長さより大きいという性質があります。

この不等式を利用して、AB、AC、ADの長さに関する関係を式で表し、AB – AC < 2AD が成立することを確認することができます。具体的には、三角形ABCにおける三角形の不等式を適用し、各辺の長さを比較することで不等式が成り立つことを示すことが可能です。

鋭角三角形ABCにおいて、AB > AC であり、BCの中点をDとしたとき、AB – AC < 2AD という不等式が成り立つことは、ベクトルや三角形の不等式を利用することで証明できます。この不等式は、三角形の辺の長さの関係を示す重要な不等式であり、幾何学的な理解を深めるために有用です。