tanθ = 2 のとき cos θ と cos(90° + θ) を求める方法

この問題では、0 < θ < 90° の範囲で tanθ = 2 のときに cos θ と cos(90° + θ) を求める方法について解説します。

1. tanθ = 2 の情報をもとに cosθ を求める

まず、tanθ = 2 という条件を利用して、cosθ を求めます。tanθ は sinθ と cosθ の比です。

tanθ = sinθ / cosθ

tanθ = 2 より、sinθ = 2cosθ となります。この式を使って、三角関数の恒等式を使います。

次に、三角関数の基本的な恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 を使います。

sinθ = 2cosθ と置き換えたので、sin²θ = (2cosθ)² = 4cos²θ となります。

これを恒等式に代入すると、次のようになります。

4cos²θ + cos²θ = 1

5cos²θ = 1 となり、cos²θ = 1/5 です。

したがって、cosθ = ±√(1/5) = ±1/√5 です。

0 < θ < 90° なので、cosθ は正の値です。したがって、cosθ = 1/√5 です。

次に、cos(90° + θ) を求めます。cos(90° + θ) は次の恒等式を使って求めます。

cos(90° + θ) = -sinθ

これまでに求めた sinθ = 2cosθ から、sinθ = 2/√5 です。

したがって、cos(90° + θ) = -2/√5 となります。

tanθ = 2 のとき、cosθ は 1/√5 であり、cos(90° + θ) は -2/√5 となります。