今回は、数学の不等式「2cos²θ + sinθ – 1 ≦ 0」を解く方法について説明します。この問題は三角関数に関連した不等式であり、0 ≦ θ < 2πの範囲内で解を求める問題です。解法のステップを順を追って解説していきますので、ぜひ参考にしてください。
1. 問題の整理
まず与えられた不等式を整理します。
2cos²θ + sinθ – 1 ≦ 0
ここで注意すべきは、三角関数の関係式や恒等式を使うことがポイントとなります。
2. 三角関数の式に変換する
まず、cos²θをsin²θで表現できることを利用して式を変形します。
sin²θ = 1 – cos²θ という恒等式を用いると、cos²θをsin²θを使って書き換えられます。これを元に不等式を変形していきます。
具体的には、cos²θ = 1 – sin²θ と置き換えて、式を簡単にします。
3. 不等式の解法
変形した式から、まずは適切な計算を行い、θの範囲における解を求めます。この際、範囲0 ≦ θ < 2π内で解を確認することが重要です。
具体的には、以下のような操作を行います。
- 式の両辺に適当な変数を代入して、解を求める。
- 解の範囲が0 ≦ θ < 2πに収束するように計算する。
4. 解答の導出
計算結果として、θの範囲が求められ、解が明確になります。最終的に不等式が成立するθの範囲を求めることができます。
解が求められると、問題の条件を満たすθの値を導き出せます。
まとめ
今回の問題では、三角関数の恒等式や式の変形を駆使して、不等式の解を求めました。計算手順や考え方を理解することで、同様の問題にも対応できるようになります。是非、この方法を他の三角関数の問題にも応用してみてください。
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